Blogger Widgets

Search This Blog

Saturday, 4 June 2016

Makalah Teori Bilangan: Keterbagian


BAB I
PENDAHULUAN 
LATAR BELAKANG
Teori bilangan adalah salah satu cabang pelajaran matematika. Dalam teori bilangan ada bab yang berjudul keterbagian bilangan. Keterbagian bilangan merupakan bagian dasar dari berbagai sifat teori bilangan, oleh karenanya kita sebagai mahasiswa dan mahasiswi pendidikan matematika harus mempelajari dan memahami keterbagian bilangan. Menyikapi hal tersebut kami sebagai penyusun makalah ini berusaha menyajikannya dalam bentuk catatan yang Insya Allah akan menambah pengetahuan kita semua sebagai mahasiswa pendidikan matematika.
 
RUMUSAN MASALAH
  1. Apa definisi dari keterbagian bilangan?
  2. Apa saja sifat-sifat keterbagian bilangan?
  3.   Bagaimana keterbagian oleh 2, 2n, 3, 5, dsb?
 
BAB II
PEMBAHASAN
DEFINISI
Keterbagian atau divisibility artinya, sudut pandang matematika yang mempelajari suatu bilangan yang habis oleh bilangan lain.
Misalkan a dan b bilangan-bilangan bulat sebarang; b pembagi a jika dan hanya jika ada bilangan bulat c sedemikian sehingga a = bc. Jika ba maka b adalah suatu faktor atau suatu pembagi a, dan a adalah suatu kelipatan dari b.
Jangan dikacaukan antara ba dan b/a yang diterjemahkan sebagai b : a. ba merupakan suatu relasi benar atau salah. Sedangkan b/a merupakan suatu operasi yang mempunyai suatu nilai bilangan tertentu. Untuk lebih memantapkan pengertian ini, bandingkan antara 0 : 0 dan 00. Kita tahu bahwa 0 : 0 tidak terdefinisi, tetapi 00 adalah pernyataan yang benar karena 0 = 0 . a untuk setiap bilangan bulat a. Kita menulis 5┼12 untuk menyatakan bahwa 12 tidak dapat dibagi (tidak habis dibagi) oleh 5, atau 5 tidak membagi 12. Penulisan 5┼12 juga untuk menyatakan bahwa 12 adalah bukan kelipatan 5 dan 5 adalah bukan faktor dari 12.
Contoh :
1)     3 │12, sebab ada bilangan bulat 4 sedemikian sehingga 12 = (4) 3.
2)     3 │-30, sebab ada bilangan bulat -10 sedemikian sehingga –30 = (-10)3.
SIFAT-SIFAT KETERBAGIAN
Jika a,b,c   bilangan bulat maka berlaku:
1)     a│ b →  a │bc,  untuk setiap c bilangan bulat.
Bukti Jika d│a maka ada suatu bilangan bulat k sehingga a = dk. Dengan mengalikan kedua ruas pada persamaan di atas dengan n, kita peroleh a(n) = dk(n). Dengan menggunakan sifat-sifat komutatif, asosiatif, dan ketertutupan perkalian pada bilangan bulat, kita peroleh n.a = d (nk). Jadi d│na.
2)     (a │ b, b │c) → a │ c.
Bukti a│b dan b│k maka menurut definisi, terdapat bilangan bulat f dan g sedemikian sehingga k = bg = (af)g = a(fg). Jadi, k = a(fg). Akibatnya menurut definisi, a│k.
3)     (a │ b, b │a) → a = ± b.
4)     (a │ b, a │c) → a │ (b ± c).
Bukti d│a mengakibatkan a = md, m suatu bilangan bulat. d│b mengakibatkan b = nd, n suatu bilangan bulat a + b = md + nd = (m + n)d Karena m dan n bilangan bulat, m + n juga bilangan bulat, d│ (a + b). Dengan demikian, d membagi a + b, atau ditulis d│ (a + b).
5)     (a │ b, a │c) → a │ (ax + by) untuk setiap  x,y  bilangan bulat.
Bukti j│a dan j│b maka terdapat bilangan bulat f dan g sedemikian sehingga  dan b =jg sehingga, ka + lb = kjf + ljg = j(kf+lg). Akibatnya, j│(ka+lb).
Untuk selanjutnya ax + by disebut kombinasi linear dari b dan c
6)     ( a>0, b > 0 dan a │b) → a ≤ b.
7)     a │b ↔ ma │ mb untuk setiap m bilangan bulat dan m ≠ 0
8)    ( a│b dan a │ b+c ) → a │c.
 
KETERBAGIAN OLEH 2, 2n, 3, 5, DST
·         Bilangan yang habis dibagi oleh 2
Setiap bilangan genap habis dibagi 2. Contohnya 4, 6, 8, dan masih banyak lagi.
·         Bilangan yang habis dibagi oleh 2n
-          Untuk n=1 maka suatu bilangan yang habis dibagi 2 jika satu bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2.
-          Untuk n=2 maka suatu bilangan yang habis dibagi 4 jika dua bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 4. Apakah 11348 habis dibagi 4? Kita ambil dua digit terakhir 48 ternyata habis dibagi 4, jadi 11348 habis dibagi 4.
-          Utuk n=3 maka suatu bilangan yang habis dibagi 8 jika tiga angka terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 8. Apakah 532096 habis dibagi 8? Kita ambil tiga digit terakhir yaitu bilangan 096 ternyata habis dibagi 8, jadi 532096 habis dibagi 8.
·         Bilangan yang habis dibagi oleh 3
Bilangan yang habis dibagi 3 bila jumlah silang angka-angkanya habis dibagi 3. Apakah 2331 terbagi oleh 3? Karena 2+3+3+1 = 9 habis dibagi 3, jadi 2331 habis dibagi 3.
·         Bilangan yang habis dibagi 5
Setiap bilangan majemuk yang berakhiran 0 dan 5 habis dibagi 5. Contohnya 51230.
·         Bilangan yang habis dibagi 6
Bilangan yang habis dibagi 6, syaratnya sama dengan keterbagian 3, tetapi bilangan tersebut haruslah bilangan genap. Apakah 7311 terbagi oleh 6? Karena 7+3+1+1 = 12 habis dibagi oleh 3, tetapi karena 7311 adalah bilangan ganjil, jadi bilangan 7311 tak habis dibagi oleh 6.
·         Bilangan yang habis dibagi oleh 7
Bilangan yang habis dibagi oleh 7, bila bagian satuan dari bilangan tersebut dikalikan 2, dan menjadi pengurangan dari bilangan tersisa, bila habis dibagi 7, bilangan tersebut keterbagian 7. Apakah bilangan 5236 habis dibagi 7? Kita pisahkan 6 (satuan dari bilangan), kemudian 523 – 2 x 6 = 511 dilanjutkan dengan 51 – 2 x 1 = 49 habis dibagi 7, jadi 5236 habis dibagi 7.
·         Bilangan yang habis dibagi oleh 9
Bilangan yang habis dibagi oleh 9, bila jumlah silang angka-angkanya habis dibagi 9. Apakah bilangan 271107 habis dibagi dengan 9? Karena 2+7+1+1+0+7 = 18, dan ternyata 18 habis dibagi 9, jadi 271107 habis dibagi dengan 9.
·         Bilangan yang habis dibagi dengan 11
Bilangan yang habis dibagi dengan 11, bila jumlah silang tanda berganti, habis dibagi 11. Apakah bilangan 25256 habis dibagi 11? Karena 6 – 5 + 2 – 5 + 2 = 0 dan ternyata 0 habis dibagi 11, jadi 25256 habis dibagi oleh 11.
·         Bilangan yang habis dibagi oleh 13
Ciri bilangan habis dibagi 13 adalah bila bilangan asal dipisahkan satuannya, kemudian dikalikan 9 (multiplier dari 13), dan bilangan yang setelah dipisahkan tadi dikurangi dengan sembilan kali bilangan satuannya habis dibagi 13, maka bilangan itu habis dibagi 13. Apakah 3419 habis dibagi 13? Kita pisahkan 3419(9)=34181=260. Karena 260 habis dibagi 13, maka 3419 habis dibagi 13.
·         Bilangan yang habis dibagi dengan 19, 29, 39 …
Bilangan yang habis dibagi dengan 19, bila bagian satuan dari bilangan tersebut dikalikan 2, dan menjadi tambahan dari bilangan tersisa bia habis dibagi 19, bilangan tersebut keterbagian 19. Apakah bilangan 1919  habis dibagi 19? Karena 191 + 2 x 9 = 209 dengan cara yang sama 20 + 2 x 9 = 19 , jadi 1919 habis dibagi 19.
1919 = 10 (191) + 9 ; oleh karenanya suatu bilangan dapat ditulis 2 (10a + b) – (a + 2b) = 19a dengan cara yang sama keterbagian 29 dapat dituliskan sebagai 3 (10a + b) – (a +3b) = 29a dengan demikian akan didapatkan 4 (10a + b) – (a + 4b) = 39a dan seterusnya.
·         Bilangan yang habis dibagi dengan 37
Bilangan yang habis dibagi dengan 37, tidak terlepas dari keterbagian bersama 3, 9, 27, dan 37. Apakah bilangan 1207791 habis dibagi 37? Pilah dan “pecah tiga-tiga” mulai dari satuan 001+207+791 = 999 = 3 x 3 x 3 x 37, jadi 1207791 habis dibagi 37.
·         Bilangan yang habis dibagi dengan 101
Bilangan yang habis dibagi dengan 101, bila jumlah silang dua digit pada posisi ganjil dikurangi jumlah silang dua digit pada posisi genap, habis dibagi 101. Apakah 48369304 habis dibagi oleh 101? “Pecah dua-dua” 48 36 93 04, maka (04 + 36) – (93 + 48) = -101, jadi 48369304 habis dibagi oleh 101.

No comments:

Post a Comment