Blogger Widgets

Search This Blog

Saturday, 10 March 2012

INTEGRASI KOMPLEKS



Integrasi pada bidang kompleks sangat penting karena dua alasan:
1.     Di dalam penerapan, sering dijumpai  integral nyata yang dapat dihitung dengan integral kompleks, sedangkan metode kalkulus integral yang biasa tidak dapat digunakan.
2.     Beberapa sifat dasar fungsi analitik dapat dibuktikan melalui integrasi, sedangkan melalui metode lain mungkin sulit. Keberadaan turunan lebih tinggi dari fungsi analitik adalah salah satu contoh.
Di dalam bab ini , kita akan mendefinisikan dan mengupas integral kompleks.
Hasil paling penting di dalam bab ini adalah teorema integral Cauchy.
Teorema ini mengaplikasi rumus integral Cauchy.
Akan dibuktikan pula bahwa jika fungsi analitik, maka ia mempunyai turunan semua ordo. Jadi dalam hal ini fungsi analitik kompleks berprilaku jauh lebih sederhana dibandingkan dengan fungsi peubah nyata yang bernilai nyata.

4.1 INTEGRAL GARIS  PADA  BIDANG   KOMPLEKS
Seperti pada kalkulus nyata, kita membedakan antara integral tentu (definite integral) dan integral tak tentu (indefinite integral)  atau anti turunan. Integral tak tentu  ialah suatu fungsi yang turunannya sama dengan suatu fungsi analitik tertentu dalam suatu daerah. Dengan membalik rumus pendeferensialan yang diketahui, kita mungkin menemukan bermacam-macam integral tak tentu.
            Sekarang kita akan mendefinisikan integral tentu,  atau integral garis  bagi fungsi kompleks f (z) dengan        


LINTASAN  INTEGRASI:
Dalam kalkulus nyata, suatu integral nyata , suatu integral tentu diambil di atas suatu selang pada garis bilangan  nyata. Dalam integral kompleks, kita mengintegralkan sepanjang suatu kurva C pada bidang kompleks, kita  namakan sebagai lintasan integrasi.
            Suatu kurva C pada bidang kompleks dapat direpresentasikan dalam bentuk:  
(1)                                                     (    )     
dengan t adalah parameter nyata.
Misalkan:
                                                                    
merepesentasikan  sebagian  dari garis 
Misalkan:
                                                 
grafik berupa lingkaran  .
C dikatakan suatu kurva mulus  jika C  mempunyai turunan
                                     =  
pada setiap titiknya dan tidak pernah nol, secara geometris berarti bahwa C mempunyai tangen yang terus membelok secara kontinu.   
                                                  








C
 






 
 
                                                                                 


                                  Gambar.1
Vektor tangen z(t) dari suatu kurva C pada bidang kompleks yang direpresentasikan oleh z(t). Tanda panah pada kurva merupakan arah positif (arah naiknya  t ).

DEFINISI  INTEGRAL  GARIS  KOMPLEKS
Misalkan C adalah suatu kurva mulus pada bidang z yang direpresentasikan dalam  (1) . Misalkan f (z) adalah fungsi kontinu yang didefinisikan pada setiap titik kurva C. Selanjutnya selang  di dalam (1) kita sekat dengan titik-titik
 
         




Z
 
                                                                                             
                                                                                         


                     Gambar.2  Integral garis kompleks
dengan   . Sekatan ini berpadanan dengan sekatan kurva C oleh titik  titik (gamb.2)
             
dengan   . Pada setiap sekatan kurva C kita ambil sebarang titik, katakan  antara  dan   ( artinya  =  z (t) dengan t memenuhi  ),   antara  dan  dan seterusnya. Sehingga bentuk jumlah di dapat:
(2)            
Dengan:                    
Ini kita lakukan untuk setiap n = 2 , 3 , ...dengan cara yang bebas satu sama lain, namun seemikian rupa sehingga   terbesar mendekati nol bila  n mendekati tak hingga, sehingga menghasilkan barisan bilangan kompleks  .  Limit barisan ini disebut integral  garis (integral)  fungsi  f(z) sepanjang kurva terarah C dan dilambangkan dengan
(3)                      
Kurva C disebut sebagai Lintasan Integrasi.
Kurva C disebut lintasan tertutup  jika  (titik ujung berimpit dengan titik awal) yang dilambangkan dengan    atau

Asumsi
Semua lintasan integrasi untuk integral garis kompleks akan diasumsikan bersifat mulus sepotong sepotong (piecewise smooth), artinya terdiri atas berhingga banyaknya kurva mulus yang dihubungkan satu sama lain.

Keberadaan Integral Garis Kompleks.
Di asumsikan bahwa  f(z) adalah kontinu dan C adalah mulus sepotong-sepotong, maka keberadaan integral garis (3) dapat dibuktikan. Seperti pada bab sebelumnya  dimana  f (z) = u (x,y) + i v (x,y), dan juga    , 
Dengan demikian (2) dapat dituliskan sebagai berikut:
(4)                    
dengan  , dan  dengan m = 1,.....n. Sedangkan  dipecah menjadi empat jumlah
           
Jumlah itu adalah bilangan nyata. Karena  f  kontinu, maka   dan  juga kontinu. Akibatnya, jika n mendekati tak hingga, maka  dan   yang terbesar akan mendekati nol dan setiap jumlah di ruas kanan  menjadi integral garis nyata
(5)    
Hal ini menunjukkan bahwa  benar f adalah kontinu pada C dan C mulus sepotong-sepotong, maka integral (3) ada dan nilainya bergantung pada penyekatan yang dilakukan dan titik titik antara   yang di ambil.

TIGA  SIFAT  DASAR   INTEGRAL  GARIS   KOMPLEKS
Ada tiga sifat dasar integral garis kompleks yang mirip dengan sifat-sifat integral tentu nyata (Integral garis nyata), yang merupakan akibat langsung dari definisi.
1.     Integrasi merupakan operasi linear, artinya jumlah dua (atau lebih)  fungsi dapat diintegralkan suku demi suku, dan faktor konstantanya dapat dikeluarkan dari tanda integral.
(6)  
 
    



 


                                                                                    




 




  Gambar 3. Penyekatan lintasan  Rumus 7.
2.     Dengan memecah C menjadi dua bagian    dan  (gambar.3), maka diperoleh
(7)            
Dengan membalik arah integrasi, kita perleh negatif dari nilai asalnya
(8)            =  - 
Di sini lintasan C dengan ujung-ujungnya  dan Z adalah sama , di ruas kiri kita mengintegralkan dari   ke Z, sedangkan di ruas kanan dari Z ke .

DUA  METODE  INTEGRASI
Integrasi kompleks sangat kaya  akan metode untuk perhitungan integral.
METODE  PERTAMA:  PENGGUNAAN REPRESENTASI  LINTASAN
Metode ini berlaku pada sebarang fungsi kompleks yang kontinu.

TEOREMA 1: ( Integrasi dengan menggunakan lintasan)
Misalkan C adalah sebuah lintasan yang mulus sepotong-sepotong, yang direpresentasikan oleh , dengan . Jika f (z) kontinu pada C, maka
(1)                  dimana 
Bukti:
Ruas kiri (1) sama dengan (5) bab IV.1 yang dinyatakan dalam integral garis nyata, akan ditunjukkan bahwa ruas kanan (1) juga sama dengan (5) bab IV.1. Karena , maka   . Kita tulis   untuk , dan untuk  . Kita juga memperoleh   dan         
Akibatnya dalam (1)
                        
                                          = 
yang sama dengan ruas kanan (5) bab 4.1

Langkah-langkah  dalam  menerapkan  Teorema 1.
(1)   Represetasikan lintasan C dalam bentuk
(2)   Tentukan turunan
(3)    Substitusikan  untuk setiap  di dalam  
(4)    Integralkan   untuk t  dari a  sampai  b.

Contoh 1:
Integralkan  mengelilingi lingkaran satuan.
Tunjukkan bahwa:
(2)               ( C lingkaran satuan, berlawanan arah jarum jam )
Penyelesaian:
Presentasikan lingkaran satuan C dalam bentuk
                                                
Pengintegralan dalam arah berlawanan jarum jam  berpadanan dengan naiknya t dari 0 sampai . Dengan mendeferensialkan terhadap t, kita peroleh
                
Disamping itu,  . Rumus (1) sekarang memberikan hasil yang diinginkan
                
Dengan rumus Euler kita dapat mempercepat pekerjaan dengan cara merepresentasikan lingkaran satuan dalam bentuk:
                  , maka  
                =  

Contoh 2. Integral  fungsi  pangkat  bulat
Misalkan   , dengan m  bilangan bulat dan    konstanta.  Integralkan fungsi  dalam arah berlawanan dengan jarum jam mengelilingi lingkaran C yang berjari-jari   dengan pusat di   
y
 
 


C
 


 



 
 


x
 
                                                                                              

                 Gamb.4 Lintasan pada Contoh 2

Representasikan C dalam bentuk:
                 
Dengan demikian diperoleh
          
Sehingga
             
Menurut rumus Euler ruas kanan di atas sama dengan
               
Bila  m = - 1, maka   sehingga diperoleh
 . Untuk bilangan  , masing-masing integral di atas adalah nol, karena kita mengintegralkan sepanjang selang dengan panjang  , sesuai dengan periode sinus dan kosinus.
Sehingga diperoleh

(3)       

Dengan lain perkataan integral garis kompleks bergantung tidak hanya pada kedua titik ujung lintasan, namun juga pada bangun geometrik lintasanya.

Contoh 3. Integrasi  suatu  fungsi  yang  tidak  analitik
Integralkan  dari 0 sampai  1 + i
(a)   Sepanjang C dalam gambar 5
(b)   Sepanjang C yang terdiri atas
Penyelesaian:







Z = 1 + i
 



 
 
 
                                                                      Gamb.5 Lintasan Pada                     
                                                                                    Contoh 3




(a)    apat direpresentasikan dengan
Dengan demikian     pada

No comments:

Post a Comment